这是一道挺有意思的利用二进制的性质进行打印n个数字（从0到n）的所有组合题目。

首先：辨析一下排列和组合的区别。

排列组合

排列：

组合：

可以看出排列的数目大于等于组合的数目，以及他们的计算方式如上图。公式来源详见解析链接，这很快帮助你回忆如何计算。

回归题目：

n个元素的子集一共有 $2^n$个（从下面的对应关系中的二进制数也可看出的确是$2^n$)

那么他们此间的对应关系是这样的：

这个神奇的的排列规律是我们进行下面编程的理论（可以从二进制看子集与十进制）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int n=3;
   for(int i=0;i<(1<<n);i++)//解释一下1<<n是位运算，结果是2^n
    {
        for(int j=0;j<n;j++){
            if(i& (1<<j))//其中i只在第一次空集的时发挥作用。
            
            //这里巧妙地运用了二进制的知识，并且运用位运算的性质，得到结果
            
            cout<<j<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

输出结果：

0
1
0 1
2
0 2
1 2
0 1 2

刚开始，觉得这个输出很神奇，直接输出了n个数字的所有集合（还按照一定的顺序），代码还十分简洁。

其中两个for循环中的if判断可谓是亮点了。

那么究竟是什么意思呢，记住这里还要会回顾一下那个表格了：

if (i & ( 1<<j ) )

首先明确一下 “&”：与， 即在二进制中 同一为一（取每一位二进制的数字，两者均为1时为1）：

例如 0001 & 0011为 1；

​ 0010 & 0001为0。

此行代码中的’ i ‘指的是二进制数中1的个数，可以发现在二进制中第一次i==0，而二进制数中不含1的只有空集，与结果相对应；

接着我们分析i==1时刻，判断条件其实可以替换为（0001 & ( i<<j )),这是说明只有二进制数最后一位为1的才能呵前面$1_{(10)}$或者说$0001_{(2)}$相 “与&” 为真。那么我们可以看出只有1 3 5 7这样的奇数才满足尾数为1，才能使得条件成立。BUT我们分析一下判断条件里的另一个变量1<<j，代表的是$2^n$，也就是说只有j==0的时候，才成立，这也就是第二行结果“0”的来历；

同理我们可以分析出i==2，即二进制的0010的时候只有j==1的时候才成立；

i==3的时候，即左边为$0011_{(2)}$的时候这个时候只要是 在最后一位为一或者倒数第二位数字是一的二进制数即可，也就是说 十进制的0，1，3，5，7都可成立。但是 要注意的是 （i<<j)只能为十进制的$2^n$,所含的奇数只有1。所以除0，1外的j均不成立。

经过上面的分析我们不得不对代码的正确性给予了肯定，但好像还是不太清楚为什么能够这样做。

那我们不妨回首二进制。

不难发现，我们最终并没有用到3，4，5，6，7这样的十进制数字（尽管他们在上表中有所对应，但那也不过是各种情况的编号罢了，），只是用了0，1，2这恰好是[0,n)的范围内的数字。大胆推测 只有当i的数字越大那么在j中二进制中的1 出现的概率越大，（tips，$0111_{(2)}$恰好是7，二进制中的1的个数是（2+1）个1 emm~）。例如$7_{(10)}$ 对应$0111_{(2)}$那么他就可以有三个数字的集合成立了（果然是012）

上面一段有点饶头，仔细想想，都是对的，但似乎没什么用~可以无视~~

自己在不断探索的过程中，仍能够不断的发现二进制的奇妙用途，和神奇1 的对应。此题还需慢慢回味。

​ 数日后，再次回顾此代码，发现有着许多的新的感悟：之前不太明白的地方都一一揭开：

首先就是

哈哈，这个和上图的有什么区别呢？并没有，只是多了一个标识i

if (i & ( 1<<j ) )

回顾代码：不难看出其实对于作者的行为我们是有一些困惑的。为什么要这样做？

那我们不妨解释一下i和j的作用好了

i :其实对应的是上表中的对应的十进制：也就是说，我们将i循环了$n^2$次，其实就是恰好我们将这n个子集打印出来。

j :其实是二进制的从低到高位依次赋值1，并判断是否&，1<<j 其实就是 $2^j$ 次方wow，当j为0时其实就是二进制的最后一位为1，j=1时判断倒数第二位是否为1。那么判断的另一个对象是谁呢？当然是i。

每一个i的二进制都不相同，我们就可以依次利用j来判断该位上是否有数字有的话就把j输出出去，j是[0,n)所以可以利用二进制完美地实现所有子集的输出。